System binarny — gotowa lekcja i karta pracy z odpowiedziami

Komputer zapisuje liczby, tekst i obrazy za pomocą tylko dwóch cyfr: 0 i 1. Na tej lekcji uczniowie nauczą się zamieniać liczby z systemu dziesiętnego na dwójkowy i z powrotem, dodawać liczby binarne pisemnie i policzyć, ile wartości mieści się w jednym bajcie. Wszystko na kartce — komputer służy tylko do sprawdzenia wyników.

Materiał jest przeznaczony na 45 minut w liceum lub technikum i nie wymaga wcześniejszej wiedzy poza dzieleniem z resztą i potęgami liczby 2. Do sprawdzania wyników dołączamy krótki skrypt w Pythonie; jego użycie jest opcjonalne.

Przygotowanie przed zajęciami

Wydrukuj kartę pracy z sekcji materiałów — po jednej dla każdego ucznia. Klucz odpowiedzi jest w osobnym pliku. Na tablicy przygotuj tabelę wag pozycji, do której będziesz wracać przez całą lekcję:

Jeśli w pracowni jest Python 3, uczniowie mogą na końcu uruchomić sprawdz_binarny.py i porównać swoje obliczenia z wynikiem programu. Kalkulator programisty w systemie operacyjnym też to umożliwia, ale na lekcji ma służyć wyłącznie do kontroli.

Cele i plan lekcji

Po zajęciach uczeń potrafi:

• wyjaśnić, czym jest system pozycyjny i co oznacza waga pozycji w systemie dwójkowym;
• zamienić liczbę binarną na dziesiętną, sumując wagi pozycji z cyfrą 1;
• zamienić liczbę dziesiętną na binarną metodą dzielenia przez 2;
• dodać pisemnie dwie liczby binarne z przeniesieniem i sprawdzić wynik;
• wyjaśnić, dlaczego jeden bajt zapisuje 256 różnych wartości.

System pozycyjny: od dziesiętnego do dwójkowego

W systemie dziesiętnym liczba 345 oznacza 3 setki, 4 dziesiątki i 5 jedności: 3·100 + 4·10 + 5·1. Każda pozycja jest dziesięć razy „cięższa” od poprzedniej, a cyfr jest dziesięć: od 0 do 9.

System dwójkowy działa tak samo, ale ma tylko cyfry 0 i 1, a wagi pozycji to kolejne potęgi dwójki: 1, 2, 4, 8, 16, 32… Pojedyncza cyfra dwójkowa to bit. Aby nie pomylić systemów, podstawę zapisujemy w indeksie, np. 1011₂ i 11₁₀.

Zamiana dwójkowa → dziesiętna: pod każdą cyfrą zapisz wagę jej pozycji (od prawej: 1, 2, 4, 8…) i dodaj wagi tych pozycji, w których stoi 1.

cyfry:   1   0   1   1
wagi:    8   4   2   1
1011₂ = 8 + 2 + 1 = 11₁₀

Pozycje z zerem pomijamy. Najczęstszy błąd to liczenie wag od lewej strony — waga 1 zawsze należy do cyfry najbardziej po prawej.

Zamiana dziesiętna → dwójkowa: dzielenie przez 2

Dziel liczbę przez 2 i zapisuj resztę (0 albo 1). Wynik dzielenia dziel dalej, aż otrzymasz 0. Liczbę binarną odczytujesz z reszt od dołu do góry.

37 : 2 = 18  reszta 1
18 : 2 =  9  reszta 0
 9 : 2 =  4  reszta 1
 4 : 2 =  2  reszta 0
 2 : 2 =  1  reszta 0
 1 : 2 =  0  reszta 1
37₁₀ = 100101₂   (reszty czytane od dołu)

Sprawdzenie: 100101₂ = 32 + 4 + 1 = 37. Warto wymagać tej kontroli przy każdym zadaniu — zajmuje kilka sekund i od razu wykrywa odczytanie reszt w złej kolejności.

Drugi sposób, przydatny dla małych liczb: odejmuj od liczby największe mieszczące się wagi. Dla 37: największa waga ≤ 37 to 32 (zostaje 5), potem 4 (zostaje 1), potem 1. Jedynki stoją na pozycjach 32, 4 i 1, więc znowu 100101₂.

Dodawanie binarne i bajt

Dodajemy pisemnie jak w systemie dziesiętnym, od prawej, ale „przenosimy” już przy dwójce: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (zapisujemy 0 i przenosimy 1), 1+1+1=11 (zapisujemy 1 i przenosimy 1).

  przeniesienia: 1 1 1
          1 0 1 1      (11)
        + 0 1 1 0      ( 6)
        ---------
        1 0 0 0 1      (17)

Wynik ma o jedną cyfrę więcej niż składniki — to normalne, tak jak 70 + 50 = 120 w systemie dziesiętnym.

Osiem bitów tworzy bajt. Najmniejsza wartość bajtu to 00000000₂ = 0, największa 11111111₂ = 255. Razem daje to 256 = 2⁸ różnych wartości. Ogólnie: n bitów zapisuje 2ⁿ wartości, od 0 do 2ⁿ − 1. Dlatego np. składowe koloru w zapisie RGB mają zakres 0–255 — każda zajmuje jeden bajt.

Trzy zadania z karty pracy

Zadanie 1. Z dwójkowego na dziesiętny. Zamień na system dziesiętny: a) 1011₂, b) 11001₂, c) 1000000₂, d) 11111111₂. Przy każdej liczbie zapisz sumę wag.

Zadanie 2. Z dziesiętnego na dwójkowy. Zamień metodą dzielenia przez 2: a) 13, b) 37, c) 100, d) 200. Każdy wynik sprawdź, zamieniając go z powrotem na system dziesiętny.

Zadanie 3. Dodawanie binarne. Dodaj pisemnie i sprawdź wynik w systemie dziesiętnym: a) 1011₂ + 0110₂, b) 1111₂ + 0001₂, c) 10101₂ + 1110₂.

Dla chętnych: ile najmniej bitów potrzeba, aby zapisać liczbę 1000? Uzasadnij odpowiedź potęgami dwójki. Następnie uruchom sprawdz_binarny.py dla liczby 1000 i porównaj liczbę cyfr wyniku ze swoją odpowiedzią.

Klucz odpowiedzi

Komentarz do pułapek:

• W 1c jedna jedynka i sześć zer daje dokładnie potęgę dwójki — dobry przykład, że liczba binarna z jedną jedynką to zawsze potęga 2.
• W 1d osiem jedynek to największy bajt. Zauważ, że 255 = 256 − 1: dodanie 1 do 11111111₂ dałoby 100000000₂, czyli liczbę dziewięciobitową.
• W 2c i 2d zera w środku są istotne. Pominięcie reszty 0 przy dzieleniu (np. zapis 11001 zamiast 1100100) to najczęstszy błąd — kontrola przez zamianę odwrotną od razu go wykazuje.
• W 3b przeniesienie „wędruje” przez wszystkie cztery pozycje. To dokładnie ten sam mechanizm, co 9999 + 1 = 10000 w systemie dziesiętnym.

Typowe błędy

Pytania kontrolne i punktacja

1. Dlaczego waga pozycji w systemie dwójkowym rośnie dwukrotnie, a w dziesiętnym dziesięciokrotnie?
2. W jakiej kolejności odczytujemy reszty przy zamianie metodą dzielenia przez 2?
3. Ile różnych wartości można zapisać na 8 bitach i jaka jest największa z nich?

Odpowiedzi: podstawa systemu określa, ile cyfr jest dostępnych i ile razy rośnie waga każdej kolejnej pozycji — w dwójkowym jest to 2, w dziesiętnym 10. Reszty odczytujemy od dołu, czyli od ostatniego dzielenia do pierwszego. Na 8 bitach mieści się 2⁸ = 256 wartości, od 0 do 255.

Proponowana punktacja (razem 10 punktów): zadanie 1 — po 0,5 pkt za każdą liczbę, razem 2 pkt; zadanie 2 — po 1 pkt za każdą liczbę z kontrolą, razem 4 pkt; zadanie 3 — po 1 pkt za każde dodawanie, razem 3 pkt; odpowiedź na pytanie 3 — 1 pkt. Zadanie dla chętnych nie jest wymagane do kompletu punktów.

Materiały do pobrania

• Pakiet: karta pracy, klucz odpowiedzi i skrypt do sprawdzania
• Karta pracy ucznia — otwórz i wydrukuj
• Klucz odpowiedzi dla nauczyciela

Skrypt sprawdz_binarny.py (Python 3) pyta o liczbę dziesiętną, wypisuje kolejne dzielenia przez 2 z resztami i wynik w systemie dwójkowym, a na końcu porównuje go z wbudowaną funkcją bin. Materiały są dostępne bez logowania. Klucz jest publiczny i służy nauce oraz samodzielnemu sprawdzeniu pracy, nie poufnemu sprawdzianowi.

Co dalej po systemie binarnym?

Naturalną kontynuacją jest system szesnastkowy (kolory w zapisie #1E3A8A w CSS) oraz zapis tekstu w kodach ASCII i Unicode. Skrypt z pakietu używa pętli while — jego budowę wyjaśnia lekcja o pętlach for i while w Pythonie. Reprezentację danych, algorytmikę i programowanie w ramach całej podstawy programowej obejmuje kurs Informatyka w TablicaPro z prezentacjami, ćwiczeniami i testami.

Źródła: funkcje bin i int w dokumentacji Pythona oraz opis systemu dwójkowego w Encyclopaedia Britannica.